\begin{exo}
On donne la matrice $A=\begin{pmatrix}
4 & 3 & -3\\
-2 & -1 & 2\\
1 & 1 & 0
\end{pmatrix}$.
\begin{questions}
\question Calculer $B=A-I_3$, puis $B^2$.
\begin{solution}
$B=\begin{pmatrix}
3 & 3 & -3\\
-2 & -2 & 2\\
1 & 1 & -1
\end{pmatrix}$ et $B^2=0$
\end{solution}
\question Trouver une expression de la matrice $A^2$ en fonction de $A$ et $I$.
\begin{solution}
Comme $A$ et $I$ commuttent, on peut utiliser la formule du binôme de Newton. On a $B^2=A^2-2A+I=0$, ce qui donne $A^2=2A-I$
\end{solution}
\question En déduire que $A$ est une matrice régulière et calculer son inverse.
\begin{solution}
$A(2I-A)=(2I-A)A=I$ et donc $A$ est inversible et $A^{-1}=2I-A=\begin{pmatrix}
-2 & -3 & 3\\
2 & 3 & -2\\
-1 & -1 & 2
\end{pmatrix}$
\end{solution}
\end{questions}
\end{exo}

\rubrique{Algebre lineaire}
\motcles{matrice, inverse}

